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どうも。ねおちです。

昨日はひさっびさに数学の勉強なんていうものをしてみますた。
やってみた問題は A日程新規高卒者用参考問題 数学
どこぞの学校の入試問題の過去問らしい。

ということで、ただ解答を書くだけじゃつまらないんで、超絶細かく解説いれてみようかと思うます。
先に言っておきますが、細かく解説入れてるので、マジで長いですよ@w@
※ 計算間違いあったら指摘してくだされ。

追記に続く

1.次の計算をしなさい
1)2+(-9)+3
符号が+の数字が2つと、-の数字が1つあって、それの合計ってことですよね
なので、とりあえず+のやつを足すと
= 2+3+(-9)
= 5+(-9)
ってことになるよね
で、+5 に -9 を足す ってことは
ようするに、5-9 ってことになる
すると、答えは -4

-------------------------
2)1/2 + 2/3
分数の足し引きの計算は、まず分母を揃えるところから始めようか。

これを「通分」と言うんだけど、1/2 だったら 0.5 だし、 2/3 だったら割り切れないけど 0.666… ってことだよね。
この、値を変えないように、 1/2 や 2/3 の分母を揃えてやるには、最小公倍数を使う。
最小公倍数ってのは、複数の数字に共通する倍数のうち最小のもの」って意味


実際に倍数を見てみよう

2の倍数は 2x1=2 2x2=4 2x3=6 2x4=8 … と掛け算九九の2の段だね
同じように3の倍数は 3x1=3 3x2=6 3x3=9 3x4=12 … となるわけだ。
で、2の倍数と3の倍数に共通する一番小さい倍数は?っていうと、6になる。
だから、1/2 と 2/3 の分母(/の右にある2や3の部分ね)の最小公倍数 6


次に、分数の値を変えないで分母を6にしたいわけだ
つまり、1/2 や 2/3 を ◯/6 にして 0.5 や 0.666… っていう分数の値を変えない(←これが通分)

どうするか?っていうと、分母に掛けたのと同じ数字を分子にも掛けてやる

なぜ、分母に掛けたのと同じ数字を分子にも掛けるのか?と言うと、
分子と分母が同じなら、その分数の値は1になるから。
ある数字に1を掛けても計算結果は変わらないという性質を利用するわけだ。
(例: 1/1でも、123/123でも、計算結果は同じで1になるよね)


1/2 で、/2 の部分(分母)を /6 にしたいんだから、これは1/3をかけてやればいいわけだ。
でもこのままだと、元の値が1/3になってしまうので
分子にも同じ数を掛けてやる
(1/2)x(3/3) ←3/3=1 だから、掛けても計算結果は変わらない
= (1x3) / (2x3) ←分数同士の掛け算は、分子同士、分母同士を掛ける
= 3/6 ←少数にしたら 0.5 で元の 1/2 と同じになる

同じように 2/3 の /3 の部分(分母)を /6 にしたいんだから、これは1/2をかけれやればいい
でもこのままだと、元の値が1/2になってしまうので
分子にも同じ数を掛けてやる
(2/3)x(2/2) ←2/2=1 だから、掛けても計算結果は変わらない
=(2x2) / (3x2) ←分数同士の掛け算は、分子同士、分母同士を掛ける
= 4/6 ←これ、少数にしたら 0.666… で元の 2/3 と同じになる

これで、元の式 1/2 + 2/3 は 3/6 + 4/6 ってことになるよね。

これを足し算すると (3+4)/6 = 7/6 約分して 1+(1/6) になる (これが答え)

分数のお約束
分数の値が1以上になる時は、整数になる分は整数に直して書く
7/6 = (6/6) + (1/6) = 1+(1/6)
分数の足し算、引き算は分子だけ足し引きする。 ← ココ大事。


-------------------------
3)6+(-2)x(-1)+(-8)
計算に加減算(足し算、引き算)と、乗除算(掛け算、割り算)が混じっている時は乗除算を先にやるのね。

加減算だけなら、どっからやっても同じ
乗除算だけの場合も、どっからやっても同じ
混じってる時は、乗除算を先にやる。 ← ココ大事


だから、上の計算 6+(-2)x(-1)+(-8) は
 (-2)x(-1) の部分を最初に計算するのね。

マイナス同士の掛け算やるとプラスになるのはOKかな?
グラフで考えると、Y軸の左側がマイナスで右側がプラスだよね。

         |
-・-・-●-・-・-・-・-・-・-
     -2   |

-2ってのはグラフではこうなるわけだけど
マイナスを掛けるっていうのは、「Y軸を中心に左右をひっくり返す」ってことだ。

         |
-・-・-・-・-・-・-●-・-・-
         |   (-2)x(-1)

左右をひっくり返すとこうなるよね。


つまり +2 ってことになる。

だから、最初の式は
 6+(-2)x(-1)+(-8)
= 6+(2)+(-8)

で、1)でやったように、とりあえずプラスから計算しちゃえば
6+2 = 8 だから

= 8+(-8)
= 8-8
= 0    ← これが答え

-------------------------
4)X+3-(2X+1)^2
※ ^2 ってのは 二乗って意味ね (二乗って書けないんで、プログラムで使う記号だけど、許してww

この式を書き直すと

X+3-(2X+1)^2
= X+3-(2X+1)(2X+1) ←(2X+1)^2は、(2X+1)x(2X+1) ってこと
こういうことだよね。

ほんで、3)でやったように、加減算と乗除算が混じってるから乗除算から計算するわけだ
抜き出してみると
(2X+1)(2X+1) ← ココを先に計算するってことね

文字式ではxの記号は省略するのが決まり
(2X+1)(2X+1) は実際には (2X+1) x (2X+1) ってこと。
この、x(乗算記号の掛ける)が省略されている


【例】
「たすき掛け」って方法を使う。
たすき掛け
こんな風に掛け算するのです。
(aX + b)(cX + d)
=aX(cX + d) + b(cX + d)
= (aX x cX) + (aX x d) + (b x cX) + (b x d)

文字式の場合、x(乗算の掛けるって記号ね) は省略しますから
= aXcX + adX + bcX + bd
これをまとめて
= acX^2 + (ad+bc)X + bd

aX x cX ってのはバラバラにすると 
a x X x c x X ってことだよね。 ←文字式にx(掛ける)が混ざると恐ろしく見難いから省略する

これを掛け合わせると
a x c x X^2 ← 前にも書いたけど ^2 は二乗の事ね
文字式の場合 x の記号(乗算の掛けるって記号ね)は省略しますから
acX^2


この計算方法で、抜き出した部分の式を計算すると
(2X+1)(2X+1)
= 2X(2X+1) + (2X+1) ← 「1x」は省略する
= 2Xx2X + 2X + 2X + 1
= 4X^2 + 4X + 1   (*1)

なので、元の式は
X+3-(2X+1)^2
= X+3-(2X+1)(2X+1)
= X+3-(4X^2 + 4X + 1)  こうなる。

でこれの()を外す。
= X+3-(4X^2 + 4X + 1)
= X+3-1x(4X^2 + 4X + 1) ← 上の式はこういうことなので(-1xが省略されていた
= X+3+(-4X^2)+(-4X)+(-1) ←()内のそれぞれに-1を掛ける
= X+3-4X^2-4X-1
= -4X^2 + (X-4X) + (3-1) ←同じ文字をまとめる
= -4X^2 -3X +2  ← これが答え

一般式
(aX + b)(cX + d)
= acX^2 + (ad+bc)X + bd

二乗はこれの特殊な例
(aX + b)^2
= (aX)^2 +2abX + b^2

上の抜き出した計算部分を一般式に当てはめてみると
(2X+1)^2
=(2X)^2 +2(2x1)X + 1^2
=4X^2 + 4X + 1 ← (*1)と同じ値になります


-------------------------
5)a^2bc(ab-bc^2)
()で括られた掛け算は全部に掛ける ← ココが大事(4)でやった「たすき掛け」の計算ね
= a^2bc(ab) - a^2bc(bc^2)  ←全部掛けた状態
= a^3b^2c - a^2b^2c^3  ←展開しただけでは答えにならないので、共通項をくくりだして整理する
= b^2(a^3c - a^2c^3)  ←共通項をくくりだせ(1) b^2 をくくりだした
= a^2b^2(ac - c^3)  ←共通項をくくりだせ(2) a^2 をくくりだした

a^3 = a x a^2 ってこと


= a^2b^2c(a-c^2)  ←共通項をくくりだせ(3) c をくくりだした

c^3 = c x c^2 ってこと


答え: a^2b^2c(a-c^2)

この手の問題は、「計算せよ」だったり「簡単にせよ」だったりするんだけど
・・・どこが簡単やねん!ってツッコミはしちゃダメですwww(思うけど

-------------------------
6)1から30までの自然数の総和

手作業で全部足して行ってもいいんだけど面倒くさいので、もうちょっと楽に計算することを考えよう
これを式で表そうとするとどうなるか?

X = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
= 55


ところで、11 というのは 1+10、12は 2+10 
13以降も同様に表現できる。

なので11から20の総和は
11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
= (1+10)+(2+10)+(3+10)+(4+10)+(5+10)+(6+10)+(7+10)+(8+10)+(9+10)+(10+10)
= 10x10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
= 100 + 55 ということになるよね

最初に X = 55 と定義したので
= 100 + X

同様に、21から30までの総和は
21+22+23+24+25+26+27+28+29+30
= (1+20)+(2+20)+(3+20)+(4+20)+(5+20)+(6+20)+(7+20)+(8+20)+(9+20)+(10+20)
= 20x10+(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)
= 200 + 55
= 200 + X

1から30までの自然数の総和をYとすると
Y = X + 100 + X + 200 + X
= X + X + X + 100 + 200
= 3X + 100 + 200

ここで X = 55 だから
= 3x55 + 300
= 165 + 300
= 465

まぁ、総和計算とかね、、、面倒な計算式もあるんだけどこれでいいんじゃないかなwww



2.次の方程式を解きなさい

1)x + 2 = 10 

方程式を解くっていうのは、 x = ◯ にしなさい っていうことね。
で、これには、「移項」という方法を使います。

【移項】
「=」 の左側を「左辺」(問題でいうと「x + 2」の部分)、右側を「右辺」(「10」の部分)
それぞれの数字や文字を「項」(x、2、10の部分)と呼びます。

「移項」とは文字通り、項を移動するということですが、ここでルールがあります。
1.加算の場合
a を 右辺に移項するのですが、この場合には
X + a = b
X + a - a = b - a ← 移項したい値を両辺から減算する
X = b - a

例:
3+5 = 8 で 5を移項しようと思った場合
3+5-5 = 8-5
3 = 3


2.減算の場合
X - a = b
X - a + a = b + a ← 移項したい値を右辺に加算する
X = b + a

例:
5-3 = 2 で -3を移項しようと思った場合
5-3+3 = 2+3
5 = 5


3.乗算の場合
aX = b
aX ÷ a = b ÷ a ← 移項したい値で両辺を除算する
X = b ÷ a
X = b/a  ← 割り算は分数で表記しよう

例:
3x5 = 15 で 5を移項しようと思った場合
3x5÷5 = 15÷5
3 = 3


4.除算の場合(1)
X ÷ a = b
X ÷ a x a = b x a ← 移項したい値を両辺に乗算する
X = ab

例:
15÷5 = 3 で 5を移項しようと思った場合
15÷5x5 = 3x5
15 = 15


5.除算の場合(2)
a ÷ X = b
a ÷ X ÷ a = b ÷ a ← 移項したい値で両辺を除算する
X = b ÷ a
X = b/a  ← 割り算は分数で表記しよう


例:
15÷5 = 3 で 15を移項しようと思った場合
15÷5÷15 = 3÷15
1/5 = 3/15
1/5 = 1/5


なんでこんなルールがあるのか?っていうと、『= で結ばれた右辺と左辺の値は同じ値』だから。

設問では 1.の方法で移項します。
X + 2 = 10
X + 2 - 2 = 10 - 2
X = 8        
※ある数に2を足したら10です。ある数(Xのこと)はいくつですか?ってことだね。

-------------------------
2)(X + 3)^2 = 1

これは2次方程式ってやつだね。
とりあえず、(X + 3)=Aとすると、設問の式は以下のように表現できます

A^2 = 1 ←そのまま書いてもいいけど、式を文字に置き換えると考えやすい
A = ±√1 ←± はプラスマイナス。符号の+と-をまとめて書いてある
(X + 3) = ±√1 ← (X + 3)=Aとしたのですから元に戻した
X + 3 - 3 = ±√1 - 3 ←+3を移項する
X = ±√1 - 3
X = ±1-3 ←二乗して1になるのは±1
X = 1-3 = -2 または X = -1-3 = -4
答え: X = -2 または X = -4

注意
capture-20140903-130817.jpg
PC上では、このように書けないので上の式のような表記になります。

√ (ルートって読む)は平方根の事
平方根とは、「2乗するとaになる数
X^2 = a を成り立たせるXの値』を平方根といいます。

例えば、9の平方根を求めろ、と出題されたとする。 ← X^2 = 9 ってことね
このときの答えは、±3である。          ← X = ±3 ということ
なぜなら、
3×3=9、(-3)×(-3)=9
どっちも答えになるからで、その両方を答えないといけない。 ← ココ大事


整数で表せない時は 「√(ルート)」 って記号を使います。
例えば「3の平方根を求めよ」って言われても整数にはなりません。
そういう場合に ±√3 と表現します。

解根とは平方根を解く事を云います。
√1 を解根すると 1 (これは整数になります
√2 を解根すると 1.41421356… (割りきれません 一夜一夜に人見頃 と覚えた
√3 を解根すると 1.7320508… (割りきれません 人並みに奢れや と覚えた
√4 を解根すると 2 (これは整数になります
√5 を解根すると 2.236920679… (割りきれません 富士山麓にオウム鳴く と覚えた


-------------------------
3)X - 3Y = X - Y = 10

今度は連立方程式の問題ですぬ。
名前は難しそうですが、要するに「2つの方程式を満たす答えを探す」ってことです。
まぁ、そんなに難しく考えなくて平気ですぬん

これは、こんな書き方をしてますが

X - 3Y = 10 … ①
X - Y = 10 … ②

ということです。
連立方程式の解き方の代表例として代入法と加減法でそれぞれ解いてみましょう。

【代入法で解く】
まず、②の式をXについて解くと
X - Y = 10
X = 10 + Y …②'

X - 3Y = 10 の X に②’で解いたXの値 X = 10 + Y を代入します。

(10 + Y) - 3Y = 10 …①’
10 + Y - 3Y = 10
-2Y = 10 - 10
Y = 0 ÷ (-2)
Y = 0   ← 0を何で割っても0

これを②’のYに代入すると
X = 10 + Y …②'
X = 10 + 0
X = 10

答え: X=10, Y=0

【加減法で解く】
  X - 3Y = 10 … ①
-) X - Y = 10 … ②
------------------------
  -2Y = 0
以上、縦書計算です

横書き計算で書くと
X - 3Y = 10 … ①
X - Y = 10 … ②
① - ②
(X - 3Y) - (X - Y) = 10 - 10
X - 3Y - X + Y = 0
-2Y = 0


Y = 0 ÷ (-2)   ← 移項する
Y = 0   ← 0を何で割っても0

これを②に代入すると
X - Y = 10 … ②
X - 0 = 10
X = 10

答え: X=10, Y=0

-------------------------
4)X^2 + 4X + 4 = 0
今度は二元1次方程式ですぬ。
二乗がはいってるけど、文字はひとつの方程式ってことだ。

まず右辺を因数分解してみようか
X^2 + 4X + 4
= (X + 2)^2

なので設問の式は
(X + 2)^2 = 0

(X + 2) = A とすると ←そのまま書いてもいいけど、式を文字に置き換えると考えやすい
A^2 = 0 ←二乗して0になるのは0
A = 0
代入した値を戻すと
(X + 2) = 0
X = -2 ← 答え

【検算】
X^2 + 4X + 4 … X = -2を代入
= (-2)^2 + 4(-2) +4
= 4 - 8 + 4
= 8 - 8
= 0

【解説】
X^2 + (a + b)X + ab = (X + a)(X + b)
この形にするのが因数分解の基本形なので理屈抜きで覚えましょう@w@

上記を踏まえて
X^2 + 4X + 4 を考えると
X^2 + (a + b)X + ab = X^2 + 4X + 4

a+b = 4 … ①
ab = 4 … ②

①を満たす組み合わせを考え、それが②を満たすか確かめる
a=0 だとすると ①から b=4 である。→ ②を満たさない
a=1 だとすると ①から b=3 である。→ ②を満たさない
a=2 だとすると ①から b=2 である。→ ②を満たす    ← これだ
a=3 だとすると ①から b=1 である。→ ②を満たさない
a=4 だとすると ①から b=0 である。→ ②を満たさない

(X + a)(X + b)の形にすると
(X + 2)(X + 2) = (X + 2)^2

【因数分解した後は、展開して検算する】
(X+2)^2 を展開してみると
= (X+2)(X+2)
= X(X+2)+2(X+2)
= X^2 + 2X + 2X + 4
= X^2 + 4X + 4

【一般形】
これを覚えておくのが前提ですから忘れちゃダメよん
展開の一般形 (ax + b)(cx + d) = acX^2 + (ad + bc)x + bd
因数分解の一般形 acX^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)





3.
座標上の点A(-2,2)、点B(5,9)、点C(9,5)で囲まれる三角形ABCについて
点Aを通り辺BCに交わるように直線を引いた時、三角形の面積を二等分する。
この直線の式が
y = ax + b で表される。
この時、a,bの組み合わせのうち、正しいものを選べ。

20070723-02.jpg
三角形ABCを描いたもの
(ちょっと適当でも図を描いてみるとわかりやすい事が多い)

三角形の頂点の一つを通り、面積を二分する直線は対辺の中点Mを通る』 ← これ法則です。覚えておきませう^q^

設問の場合、点Aを通り辺BCに交わるように直線を引いた時、三角形の面積を二等分する。
ということですから、まず辺BCの中点Mを求めます。

辺BCの中点M = ( (5+9)/2, (9+5)/2 ) ←点B、Cについて、それぞれのx座標とy座標の値を足して2で割る
= ( 14/2, 14/2 )
= ( 7, 7 ) ← これが中点Mの座標

点A(-2,2)と中点M(7,7)を通る直線の式が
y = ax + b で表されるのだから

点Aを通る時 2 = -2a + b …①
中点Mを通る時 7 = 7a + b …②

★この連立方程式を解きます
①をbについて解くと
-2a + b = 2
b = 2 + 2a …①’

①’を②に代入して
7a + b = 7
7a + (2 + 2a) = 7
7a + 2a + 2 = 7
(7+2)a = 7 - 2
9a = 5
a = 5/9

これを①’のaに代入して
b = 2 + 2a
= 2 + 2(5/9)
= 2 + 10/9
= 18/9 + 10/9
= 28/9

∴ 直線AMの式は y = 5/9x + 28/9

設問は a,bの組み合わせで正しいものを選べなので
①の(a,b) = (5/9, 28/9) が答え



4.求め方の説明文の空白の箇所(ア)~(ク)に入る数、式を下の数式軍から選べ

文章問題ですね。直接問題にいきましょう

グループ X,Y,Zの合計人数は36人とありますから
ア)36 ←条件1

イ)グループAの人数がX、グループCの人数がZで、CグループはAグループよりも4人多い ← 条件2
なので、 X-Z = -4 … これがイ)の答え

ウ)X + Y + Z = 36 … ①
X - Z = -4 … ②

設問が①-②と言ってるので、この2式を引き算する
(X+Y+Z)-(X-Z) = 36 - (-4)
X+Y+Z-X+Z = 36 + 4
Y + 2Z = 40

3Y (ウ) 40  に続いて Y < 40/3 とあることに注目し
Y < 40/3 ←移項して、設問の形に直す
3Y < 40  ←こうなるので、 ウ)の答えは <

エ)今度は、①+②と言っているので、この2式を足し算する
(X+Y+Z)+(X-Z) = 36 + (-4)
X+Y+Z+X-Z = 32
2X + Y = 32 ← これがエ)の答え

問題文より 32/3 < Y < 40/3 とあることから、Yの最小値と最大値を計算すると

最小値:32/3 = 10+(2/3) 必ず整数になるので 11 ← 10人と2/3人よりも小さくはならないから11人
最大値:40/3 = 13+(1/3) 必ず整数になるので 13 ← 13人と1/3人よりも大きくはならないから13人
なので、オ)は 12

Yの取りうる値は 11,12,13 であり、
X + Y + Z = 36 … ①
X - Z = -4 … ② であることから、式①にYの取りうる各値を代入して連立方程式を解く

【Y=11の場合】
X + 11 + Z = 36
X + Z = 36 - 11
X + Z = 25 … ①
X - Z = -4 … ②

(設問的に連立方程式を加減法で解けと言ってるようなので)

式① - 式② を計算する
(X + Z) - (X - Z) = 25 - (-4)
X + Z - X + Z = 25 + 4
2Z = 29
Z = 29 ÷ 2
Z = 14+ (1/2) ←分数で表記する
(Z = 14.5 ←整数にならないのでダメ)


【Y=12の場合】
X + 12 + Z = 36
X + Z = 36 - 12
X + Z = 24 … ①
X - Z = -4 … ②

(設問的に連立方程式を加減法で解けと言ってるようなので)

式① - 式② を計算する
(X + Z) - (X - Z) = 24 - (-4)
X + Z - X + Z = 24 + 4
2Z = 28
Z = 28 ÷ 2
Z = 14 ←整数になるのでOK


【Y=13の場合】
X + 13 + Z = 36
X + Z = 36 - 13
X + Z = 23 … ①
X - Z = -4 … ②

(設問的に連立方程式を加減法で解けと言ってるようなので)

式① - 式② を計算する
(X + Z) - (X - Z) = 23 - (-4)
X + Z - X + Z = 23 + 4
2Z = 27
Z = 27 ÷ 2
Z = 13+(1/2) ←分数で表記しよう
(Z = 13.5 ←整数にならないのでダメ)


以上の計算からYの取りうる3つの値のうち、Zの値が整数になるのはY=12あることがわかる
なので、【Y=12の場合】について続きの計算を行う

式① + 式② を計算する
(X + Z) + (X - Z) = 24 + (-4)
X + Z + X - Z = 24 - 4
2X = 20
X = 20 / 2
X = 10

以上の計算より、
Aグループの人数 X = 10
Bグループの人数 Y = 12
Cグループの人数 Z = 14

【確認】
X + Y + Z = 36 … 条件1
10 + 12 + 14 = 36 なので条件1を満たす

X - Z = -4 … 条件2
10 - 14 = -4
-4 = -4 なので条件2を満たす

X < Y < Z
10 < 12 < 14 … 条件3を満たす

設問の条件1,2,3を全て満たしていることが確認できた。


解答: ア)36、イ)-4、ウ)<、エ)32、オ)12、カ)10、キ)12、ク)14



感覚でわかってることを他人が見てわかる文章に書き直すって難しいですね@w@
これでわかるのか、自分にはわからんけど、とりあえずできるだけ詳しく説明してみたつもりです

そんなことで今日はここまで。

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2014/8/28 ~
プロフィール

ねおち

Author:ねおち

北海道帯広市出身
愛知県岡崎市在住


【略歴】
北海道帯広柏葉高等学校卒業
空手家

水商売からCocktail&PastaのBar経営を経てプログラマーへ転身
現在は年中夢求


趣味:PCいじり、読書(主に歴史関係)

錬心舘空手初段、銃剣道初段



「六月火雲飛白雪」
世の中の常識というものにとらわれてはいけない。
 『夏の雲が雪を降らせる』というほどの自由自在の考えを持つことも時には大切である。
そう思いつつなかなか出来ないねおちの日々思ってることなど。

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ねおちは蜜の味 バナー160x60

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①身長・体重を入力
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ねおちの趣味レーター

ゲームのシミュレーターを作ってます。
計算違いとかあるかも?なのでシュミ(趣味)レーターかもしれませんが・・・orz

最近ここのエリアが大きすぎるなぁ~と思うようになってきたので別サイトに移設しました。

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